De Cuantas Formas - Combinatoria

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A los representantes de las más diferentes especialidades les toca resolver problemas en que se consideran unas u otras combinaciones, formadas por letras, cifras u otros objetos. El jefe del taller debe distribuir varios tipos de trabajo entre los tornos de que dispone, el agrónomo, distribuir la siembra de los cultivos agrícolas en varios campos, el director de la parte docente de una escuela, confeccionar el horario de las clases, el químico, estudiar las posibles uniones entre los átomos y las moléculas, el lingüista, considerar las distintas variantes del significado de la letras en un idioma desconocido, etc. La parte de la matemática que estudia los problemas sobre cuántas combinaciones diferentes -sometidas a unas u otras condiciones- se pueden formar con objetos dados, se denomina `combinatoria`.

La combinatoria surgió en el siglo XVI. En la vida de las capas privilegiadas de la sociedad de entonces, ocupaban un lugar los juegos de azar. Jugando a las cartas y a los dados se ganaba y se perdían oro y brillantes, palacios y estancias, caballos de raza y adornos costosos. Estaban muy difundidas las loterías más variadas. Es comprensible, pues, que al principio los problemas combinatorios tratasen fundamentalmente sobre los juegos de azar, tratando de averiguar de cuantas maneras se puede obtener un número dado de tantos al arrojar dos o tres dados, o de cuántas formas se pueden obtener dos reyes en un juego de cartas. Estos y otros problemas de los juegos de azar fueron la fuerza motriz del progreso de la combinatoria y de la teoría de las probabilidades, que se desarrolló paralelamente a ésta.

Uno de los primeros en ocuparse del recuento del número de combinaciones diferentes en el juego de lo los dados fue el matemático italiano Tartaglia. Éste confeccionó una tabla que mostraba de cuántas maneras pueden caer r dados. Sin embargo, no se tenía en cuenta que una misma suma de puntos puede ser obtenida de diferentes maneras (por ejemplo, 1 + 3 + 4 = 4 + 2 + 2).

El estudio teórico de los problemas combinatorios fue abordado en el siglo XVII por los científicos franceses Pascal y Fermat. El punto de partida de sus investigaciones también lo constituyeron problemas de los juegos de azar. Un papel particularmente grande lo jugó aquí el problema sobre la división de la apuesta, que fue propuesto a Pascal por su amigo, el caballero de Meré, un jugador apasionado. El problema consistía en lo siguiente: el `campeonato` de cara y cruz continauaría hasta que se ganasen seis partidos. Pero se interrumpiría cuando un jugador ganase 5 partidos, y el otro, 4, ¿cómo dividir la apuesta? Era evidente que la división en la razón 5:4 no era justa. Aplicando los métodos de la combinatoria, Pascal resolvió el problema para el caso general, cuando a un jugador le quedan r partidos hasta que gane, y al otro, s. Otra resolución del problema fue dada por Fermat.

El desarrollo ulterior de la combinatoria está ligado a los nombres de Jacobo Bernoulli, Leibnitz y Euler. Sin embaargo, para éstos también el papel fundamental lo jugaban las aplicaciones a diferentes juegos (lotería, solitarios y otros). En los últimos años, la combinatoria entró en un período de intenso desarrollo, relacionado con el crecimiento general del interés hacia los problemas de la matemática discreta. Los métodos combinatorios son aplicados para resolver problemas de transporte, en particular, problemas sobre la confección de horarios, para la confección de planes de producción y de realización de ésta. Fueron establecidos nexos entre la combinatoria y problemas de la programación lineal, la estadística, etc. La combinatoria es utilizada para confeccionare y descifrar claves y para resolver otros problemas de la teoría de la información.

Los métodos combinatorios juegan un gran papel también en problemas puramente matemáticos. En la teoría de los grupos y de sus representaciones, en el estudio de los fundamentos de la geometría, en las álgebras no asociativas, etc.

En el libro que proponemos al lector, se trata sobre los problemas combinatorios en forma entretenida, de divulgación, no obstante, en éste se analizan algunos problemas combinatorios, bastante complejos, se da un concepto sobre los métodos de las relaciones de recurrencia y las funciones generatrices.

El primer capítulo del libro está dedicado a las reglas generales de la combinatoria: a las reglas de suma y de producto. En el segundo capítulo se estudian los arreglos, permutaciones y combinaciones. Este material escolar tradicional va acompañado del análisis de algunos ejemplos entretenidos. En el capítulo III estudiamos los problemas combinatorios en los que se imponen unas u otras limitaciones a las combinaciones en cuestión. En el capítulo IV se consideran los problemas sobre la partición de números y se relata sobre los métodos geométricos en la combinatoria. El capítulo V está dedicado a problemas sobre los desplazamientos aleatorios y a distintas modificaciones del triángulo aritmético. En el capítulo VI se relata sobre las relaciones de recurrencia, y en le el VII, sobre las funciones generatrices y , en particular, sobre la fórmula binómica.

En el libro hay un apéndice que contiene más de 400 problemas combinatorios, tomados por el autor de varias fuentes. Muchos problemas han sido tomados del libro de W. Whitworth “Choice and Chance” (“Elección y oportunidad”), Londres, 1901, del libro de J. Riordan “An Introduction to Combinatorial Analyisis”, New York 1958, del libro de A. M. Yaglom e I. M. Yaglom “Problemas no elementales expuestos en forma elemental”, edit. Gostejizdat, 1954 (en ruso), de diferentes colecciones de problems propuestos en olimpíadas matemáticas, etc.

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Alexander Vilenkin (en ruso: y#1040,y#1083,y#1077,y#1082,y#1089,y#1072,y#769,y#1085,y#1076,y#1088, y#1042,y#1080,y#1083,y#1077,y#769,y#1085,y#1082,y#1080,y#1085,, 13 de mayo de 1949, Járkov,1 Ucrania) es profesor de física y Director del Instituto de Cosmología en la Universidad de Tufts.

Este físico teórico ha dedicado 25 años de su trabajo al campo de la Cosmología, publicando más de 150 artículos y responsabilizándose de la introducción de ideas como la inflación eterna y la creación cuántica del universo desde la nada. Su trabajo en las cuerdas cósmicas ha sido fundamental

Obtuvo su licenciatura en física en 1971 en la antigua Unión Soviética. Más tarde se mudó a los Estados Unidos, donde obtuvo su Ph.D. en la Universidad de Buffalo, NY. Su trabajo figura en numerosos periódicos y artículos de revistas, en los Estados Unidos, Europa, Rusia, y Japón, y en libros, muchos muy populares.

Alexander usa gafas de sol en ocasiones cuando imparte seminarios, éstas le dan una apariencia característica. Aparentemente se deben a la sensibilidad de sus ojos a las luces de los proyectores usados en estos eventos.
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